题目内容

【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE= PC.

(Ⅰ)求PE的长;
(Ⅱ)求证:AE⊥平面PBC;
(Ⅲ)求二面角B﹣AE﹣D的度数.

【答案】解:(Ⅰ)∵四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,
AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,
且PE= PC,
∴AC= =
∴PC= = =
∴PE= PC=

(Ⅱ)证明:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),E( , , ),B(2,0,0),
=( , , ), =(2,0,﹣2),
=(1,1,﹣2),
= =0, = =0,
∴AE⊥PB,AE⊥PC,
又PB∩PC=P,∴AE⊥平面PBC.
(Ⅲ)解:D(0,1,0), =(2,0,0), =(0,1,0), =( , , ),
设平面ABE的法向量 =(x,y,z),
,取y=1,得 =(0,1,﹣1),
设平面ADE的法向量 =(a,b,c),
,取a=1,得 =(1,0,﹣1),
设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ,
则cosθ= = =
∴θ=60°,
∴二面角B﹣AE﹣D的度数为60°.
【解析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AC长,从而得到PC长,由此能求出PE.(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AE⊥平面PBC.(Ⅲ)求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.

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