Question

12．已知函数f（x）=x²+bx+c-2，若关于x的不等式-2≤f（x）≤2的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₂＜x₃），则W=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）的最小值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知f（x₁）=f（x₄）=2，f（x₂）=f（x₃）=-2，利用跟与系数的关系可用b，c表示出x₄-x₁，x_2-x₃，
将W化简为2$\sqrt{{b}^{2}-4c+16}$-$\sqrt{{b}^{2}-4c}$，令$\sqrt{{b}^{2}-4c}$=t，然后使用换元法求出W的最小值．

解答 解：∵-2≤f（x）≤2的解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₂＜x₃），
∴f（x₁）=f（x₄）=2，
f（x₂）=f（x₃）=-2，
即x₁，x₄是方程x²+bx+c-4=0的两根，
x₂，x₃是方程x²+bx+c=0的两根．
∴x₁+x₄=-b，x₁x₄=c-4．
x₂+x₃=-b，x₂x₃=c．
且b²-4c＞0．
∵（x₄-x₁）²=（x₄+x₁）²-4x₄x₁=b²-4c+16，
（x₂-x₃）²=（x₂+x₃）²-4x₂x₃=b²-4c．
∴x₄-x₁=$\sqrt{{b}^{2}-4c+16}$，
x₂-x₃=-$\sqrt{{b}^{2}-4c}$．
∴W=（2x₄-x₃）-（2x₁-x₂）=2（x₄-x₁）+x₂-x₃
=2$\sqrt{{b}^{2}-4c+16}$-$\sqrt{{b}^{2}-4c}$．
令$\sqrt{{b}^{2}-4c}$=t，则t＞0
∴W（t）=2$\sqrt{t+16}$-$\sqrt{t}$，
W′（t）=$\frac{1}{\sqrt{t+16}}$-$\frac{1}{2\sqrt{t}}$．
令W′（t）=0得$\sqrt{t+16}$=2$\sqrt{t}$，解得t=$\frac{16}{3}$．
当0＜t＜$\frac{16}{3}$时，W′（t）＜0；当t＞$\frac{16}{3}$时，W′（t）＞0．
∴当t=$\frac{16}{3}$时，W（t）取得最小值W（$\frac{16}{3}$）=2$\sqrt{\frac{16}{3}+16}$-$\sqrt{\frac{16}{3}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次不等式，换元法及导数的应用，属于综合题．