题目内容
20.已知函数f(x)=ex-m-$\sqrt{x}$(x≥0).(1)当f(x)≥0恒成立时,求实数m的取值范围;
(2)当m≤2时,求证:f(x)>ln$\frac{1}{2e}$.
分析 (1)由题意可得x-m≥ln$\sqrt{x}$,即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx,令g(x)=x-$\frac{1}{2}$lnx,求出导数,求得单调区间可得最小值,进而得到m的范围;
(2)x∈(0,+∞)时,ex-m≥ex-2≥x-1恒成立,要证f(x)>ln$\frac{1}{2e}$,只要证x-1>$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$,运用配方和二次函数的值域求法,即可得证.
解答 解:(1)f(x)≥0恒成立即为ex-m≥$\sqrt{x}$,
即有x-m≥ln$\sqrt{x}$,即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx,
令g(x)=x-$\frac{1}{2}$lnx,g′(x)=1-$\frac{1}{2x}$,
当x>$\frac{1}{2}$时,g′(x)>0,g(x)递增;
当0<x<$\frac{1}{2}$时,g′(x)<0,g(x)递减.
则x=$\frac{1}{2}$处取得最小值,且为$\frac{1}{2}$(1+ln2),
即有m≤$\frac{1}{2}$(1+ln2);
(2)证明:由ex-(x+1)的导数为ex-1,当x>0时,ex>1,
当x<0时,ex<1,即有x=0时,取得最小值0,
即有ex≥x+1,
即有当m≤2时,x∈(0,+∞)时,
ex-m≥ex-2≥x-1恒成立,
要证f(x)>ln$\frac{1}{2e}$,只要证x-1>$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$,
而x-1-$\sqrt{x}$=($\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$,
当x=$\frac{1}{4}$时,取得最小值-$\frac{5}{4}$,
-$\frac{5}{4}$>-ln(2e),
故x-1>$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$成立,
即有f(x)>ln$\frac{1}{2e}$成立.
点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法,注意运用参数分离,同时考查不等式的证明,注意运用已知不等式和分析法证明,属于中档题.
A. | cos0°<cos$\frac{1}{2}$<cos1<cos30°<cosπ° | B. | cos0°<cosπ°<cos$\frac{1}{2}$cos30°<cos1 | ||
C. | cos0°>cos$\frac{1}{2}$>cos1>cos30°>cosπ° | D. | cos0°>cosπ°>cos$\frac{1}{2}$>cos30°>cos1 |
A. | $\frac{1}{35}$ | B. | $\frac{1}{29}$ | C. | $\frac{4}{35}$ | D. | $\frac{4}{29}$ |