题目内容
【题目】已知方向向量为v=(1, )的直线l过点(0,﹣2
)和椭圆C:
=1(a>b>0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在过点E(﹣2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足 =
.cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(I)解法一:直线l:y= x﹣2
,①
过原点垂直l的直线方程为y=﹣ x,②
解①②得x= .
∵椭圆中心(0,0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,∴ =2×
=3.
∵直线l过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).∴c=2,a2=6,b2=2.故椭圆C的方程为 +
=1③
解法二:直线l:y= x﹣3
.
设原点关于直线l对称点为(p,q),则 解得p=3.
∵椭圆中心(0,0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,∴ =3.
∵直线l过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).∴c=2,a2=6,b2=2.故椭圆C的方程为 +
=1③
(II)解:设M(x1 , y1),N(x2 , y2).
当直线m不垂直x轴时,直线m:y=k(x+2)代入③,
整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2﹣6=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
|MN|= =
=
,
点O到直线MN的距离d= .
∵ =
cot∠MON,即|
||
|cos∠MON=
≠0,
∴| ||
|sin∠MON=4
,∴S△OMN=
.∴|MN|d=
,
即4 |k|
=
(3k2+1),
整理得k2= ,∴k=±
.
当直线m垂直x轴时,也满足S△OMN= .
故直线m的方程为y= x+
,或y=﹣
x﹣
,或x=﹣2.
经检验上述直线均满足 ≠0.
所以所求直线方程为y= x+
,或y=﹣
x﹣
,或x=﹣2.
【解析】(I)解法一:直线l:y= x﹣2
,过原点垂直l的直线方程为y=﹣
x,这两个方程联立可知x=
.再由椭圆中心(0,0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,可知
=3.由此可以求出椭圆C的方程.
解法二:直线l:y= x﹣3
.设原点关于直线l对称点为(p,q),则
解得p=3.由椭圆中心(0,0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,知
=3.由此能够推出椭圆C的方程.(II)解:设M(x1 , y1),N(x2 , y2).当直线m不垂直x轴时,直线m:y=k(x+2)代入
+
=1,整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2﹣6=0,再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格1:4.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望 E(X) 和方差 D(X) .