题目内容
15．
已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）| A． | 17 | B． | $\frac{52}{3}$ | C． | $\frac{55}{3}$ | D． | 18 |
分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案．
解答 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，
棱台的上下底面的棱长为2和4，
故棱台的上下底面的面积为4和16，
侧高为$\sqrt{5}$，故棱台的高h=$\sqrt{{\sqrt{5}}^{2}-（\frac{4-2}{2}）^{2}}$=2，
故棱台的体积为：$\frac{1}{3}$$（16+4+\sqrt{16×4}）×2$=$\frac{56}{3}$，
棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，
故棱锥的体积为：$\frac{1}{3}$×2×2=$\frac{4}{3}$，
故组合体的体积V=$\frac{56}{3}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{52}{3}$，
故选：B
点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
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