题目内容
(2013•湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=﹣18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
(1)an=(﹣)×(﹣2)n
(2)存在,见解析
(2)存在,见解析
(1)设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由题意得,解得q=﹣2,a3=12,
故数列{an}的通项公式为an=a3•qn﹣3=12×(﹣2)n﹣3=(﹣)×(﹣2)n.
(2)由(1)有an=(﹣)×(﹣2)n.若存在正整数n,使得Sn≥2013,则Sn==1﹣(﹣2)n,即1﹣(﹣2)n≥2013,
当n为偶数时,2n≤﹣2012,上式不成立;
当n为奇数时,1+2n≥2013,即2n≥2012,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n=2k+1(k≥5),且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1(k≥5)}.
故数列{an}的通项公式为an=a3•qn﹣3=12×(﹣2)n﹣3=(﹣)×(﹣2)n.
(2)由(1)有an=(﹣)×(﹣2)n.若存在正整数n,使得Sn≥2013,则Sn==1﹣(﹣2)n,即1﹣(﹣2)n≥2013,
当n为偶数时,2n≤﹣2012,上式不成立;
当n为奇数时,1+2n≥2013,即2n≥2012,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n=2k+1(k≥5),且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1(k≥5)}.
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