Question

已知抛物线与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.
(1) 求实数的取值范围；
(2) 设抛物线与ｘ轴的交点从左到右分别为A、B，与ｙ轴的交点为C，求A、B、C三点的坐标；
(3) 设直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由.

Answer 1

(1)或;(2),;(3) 直线不可能是圆的切线.

(1)∵抛物线与坐标轴有三个交点∴，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符,由知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根∴即
∴的取值范围是或.
(2)令ｘ＝０得，∴
令得解得
∴,;
(3)解法１：∵　∴
∴直线的斜率
∵圆过A、B、C三点，∴圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点
∵AB的垂直平分线即抛物线的对称轴
∵线段AC的中点为直线AC的斜率
∴线段AC的垂直平分线方程为    ()
将代入()式解得，即
∴，若直线也是圆的切线，则
即解得这与或矛盾
∴直线不可能是圆的切线．
解法２：∵　∴,
∴直线的斜率,
设圆的方程为,
∵圆过,，
∴　解得,∴圆心
∴，若直线也是圆的切线，则
即解得,这与或矛盾.
∴直线不可能是圆的切线．