Question

【题目】已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.

（1）求的方程；

（2）过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与直线相交于点，是否存在直线使得为等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或.

【解析】

（1）由题中条件得出关于、的方程组，解出与的值，可得出椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，设点，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，得出直线的方程，可求出点的坐标，利用斜率关系得知，由此得出，利用距离公式可求出的值，即可对问题进行解答.

（1）依题意，得，，将代入，

整理得，解得，所以的方程为；

（2）由题意知，直线的斜率不为，设，，.

联立方程组，消去，整理得，

由韦达定理，得，.

所以，，

即，所以直线的方程为，

令，得，即，所以直线的斜率为，

所以直线与恒保持垂直关系，故若为等腰直角三角形，只需，

即，

解得，又，所以，所以，

从而直线的方程为或.