因为受市场经济的宏观调控.某商品每月的单价和销量均会上下波动.某商家对2015年的1月份到4月份的销售量x百件和利润y万元进行统计分析.得到数据的散点图如图所示:(Ⅰ)根据散点图分别求1-4月份的销售量x和利润y的平均数$\overline{x}$.$\overline{y}$,(Ⅱ)为使统计更为准确.继续跟踪5.6月份的销售量和利润情况.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

因为受市场经济的宏观调控，某商品每月的单价和销量均会上下波动，某商家对2015年的1月份到4月份的销售量x百件和利润y万元进行统计分析，得到数据的散点图如图所示：
（Ⅰ）根据散点图分别求1～4月份的销售量x和利润y的平均数$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（Ⅱ）为使统计更为准确，继续跟踪5，6月份的销售量和利润情况，得到5月份的销售量为14百件、利润为6万元，6月份的销售量为16百件、利润为8万元．由1～6月份的数据，用最小二乘法计算得到线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中的$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{4}{7}$，求$\stackrel{∧}{a}$的值；
（Ⅲ）试根据（Ⅱ）中的线性回归方程，预测当销售量为18百件时的利润．

分析（Ⅰ）根据散点图中1～4月份各个月的销售量x和利润y，进而求出横标和纵标的平均数$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）写出样本中心点，结合已知的线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的线性回归方程，将x=18代入可预测当销售量为18百件时的利润．

解答解：（Ⅰ）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（6+8+10+12）=9，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4． …（4分）
（Ⅱ）1～6月份的平均销售量$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（6+8+10+12+14+16）=11，
1～6月份的平均利润$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（2+3+5+6+6+8）=5，…（6分）
∴这组数据的样本中心点是（11，5），
∵回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中的$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{4}{7}$，
把样本中心点代入得a=-$\frac{9}{7}$，…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{4}{7}$x-$\frac{9}{7}$，
∴当销售量为18百件时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{4}{7}$×18-$\frac{9}{7}$=9，…（11分）
∴当销售量为18百件时预测利润为9万元．…（12分）

点评本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．