Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}$．
（1）证明对任意实数x，都有f（x）=f（|x|），说明f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明之；
（2）记A=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（100），$B=f（1）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{100}）$，求A+B的值；
（3）若实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）＞1．求证：|x₁x₂|＞1．

Answer 1

分析 （1）对任意实数x，有$f（|x|）=\frac{{|x{|^2}}}{{|x{|^2}+1}}$=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}=f（x）$，利用定义法能证明f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
（2）由已知得$f（x）+f（\frac{1}{x}）$=1，由此能求出A+B的值．
（3）法一：由f（x₁）+f（x₂）＞1，得到$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}+\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}＞1$，由此能证明|x₁x₂|＞1．
法二：当f（x₁）+f（x₂）＞1时，x₁，x₂均不为0，由f（x₁）+f（x₂）＞1得f（x₁）＞1-f（x₂），由此能证明|x₁x₂|＞1．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}$，对任意实数x，都有f（x）=f（|x|），
∴对任意实数x，有$f（|x|）=\frac{{|x{|^2}}}{{|x{|^2}+1}}$=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}=f（x）$，（1分）
f（x）在（0，+∞）上的单调递增，证明如下：（2分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}-\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}=\frac{{{x_1}^2（{x_2}^2+1）-{x_2}^2（{x_1}^2+1）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$
=$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
而$（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）＞0$，
∴$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增．（5分）
（2）解：当x≠0时，$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x^2}{{{x^2}+1}}+\frac{{\frac{1}{x^2}}}{{\frac{1}{x^2}+1}}=\frac{x^2}{{{x^2}+1}}+\frac{1}{{{x^2}+1}}=1$（7分）
∴$A+B=[f（1）+f（1）]+[f（2）+f（\frac{1}{2}）]+…+[f（100）+f（\frac{1}{100}）]$=100（9分）
（3）证法一：∵f（x₁）+f（x₂）＞1，
∴$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}+\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}＞1$，∴${x_1}^2（{x_2}^2+1）+{x_2}^2（{x_1}^2+1）＞（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）$，∴${x_1}^2{x_2}^2＞1$，
∴|x₁x₂|＞1．（12分）
证法二：当f（x₁）+f（x₂）＞1时，x₁，x₂均不为0，
否则，假设x₁=0，则f（x₁）=0，而f（x₁）＜1，则f（x₁）+f（x₂）＜1，矛盾！（10分）
由f（x₁）+f（x₂）＞1得f（x₁）＞1-f（x₂）
由结论（2）知$1-f（{x_2}）=f（\frac{1}{x_2}）$，所以$f（{x_1}）＞f（\frac{1}{x_2}）$（11分）
又结合结论（1）有$f（|{x_1}|）＞f（|\frac{1}{x_2}|）⇒|{x_1}|＞|\frac{1}{x_2}|⇒$|x₁x₂|＞1．
∴|x₁x₂|＞1．（12分）

点评 本题考查函数的单调性的判断与证明，考查函数值的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件合理运用．