Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；
（2）证明：直线l⊥平面ADD1A1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．

理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，BC平面A1BC，

故直线l与平面A1BC平行

（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，D是线段AC的中点，

∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l⊥AD．

又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．

而AA1∩AD=A，

∴直线l⊥平面ADD1A1

【解析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．利用线面平行的判定定理即可证明．（2）在△ABC中，由AB=AC，D是线段AC的中点，可得AD⊥BC，l⊥AD．又AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．即可证明．
【考点精析】掌握棱柱的结构特征和直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．