题目内容

设函数对任意,都有,当时, 
(1)求证:是奇函数;
(2)试问:在时 是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
(3)解关于x的不等式
(1)详见解析;(2)函数最大值为;(3)①,则解为;②,则解为;③,则无解.

试题分析:(1)要证明为奇函数,需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来?
为了产生,令,则.这时的等于0吗?如何求?再设可得,从而问题得证.
(2)一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值,就需要研究函数的单调性.研究单调性,第一,根据定义,第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取,则,根据条件可得:
所以为减函数,那么函数在上的最大值为.
(3)有关抽象函数的不等式,都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为,注意必须是左右各一项.在本题中,由题设可得在R上为减函数
,即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数,故需要分情况讨论.
试题解析:(1)设可得,设,则
所以为奇函数.
(2)任取,则,又
所以
所以为减函数。
那么函数最大值为
所以函数最大值为.
(3)由题设可知

可化为
在R上为减函数
,即
,则解为
,则解为
,则无解
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