题目内容
【题目】已知函数f(x)=x+ ﹣3lnx(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的一个极值点,求a值及f(x)的单调区间;
(2)当a=﹣2时,求f(x)在区间[1,e]上的最值.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由题有f′(x)=1﹣ ﹣ ,
所以由x=3是函数f(x)的一个极值点得f′(3)=1﹣ ﹣1=0,解得:a=0,
此时f′(x)=1﹣ = ,
所以,当x>3时,f′(x)>0;当0<x<3时,f′(x)<0,
即函数f(x)在(3,+∞)单调递增;在(0,3)单调递减.
所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3)
(2)解:因为a=﹣2,所以f(x)=x﹣ ﹣3lnx,
f′(x)=1+ ﹣ = ,
所以,当0<x<1或x>2时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞);单调递减区间为(1,2),
又x∈[1,e],所以f(x)在[1,2]递减,在[2,e]递增,
所以f(x)的最小值f(x)min=f(2)=1﹣3ln2,
又f(1)=﹣1,f(e)=e﹣ ﹣3及f(e)﹣f(1)=e﹣ ﹣2<2.72﹣ ﹣2= <0,
所以f(x)的最大值为f(x)max=f(1)=﹣1
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值,计算f(e),f(1)的大小,求出f(x)的最大值即可.
【题目】为了弘扬民族文化,某校举行了“我爱国学,传诵经典”考试,并从中随机抽取了100名考生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计制表,其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生,请根据频率分布表中所提供的数据,用频率估计概率,回答下列问题.
分组 | 频数 | 频率 |
[50,60) | 5 | 0.05 |
[60,70) | a | 0.20 |
[70,80) | 35 | b |
[80,90) | 25 | 0.25 |
[90,100) | 15 | 0.15 |
合计 | 100 | 1.00 |
(I)求a,b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率;
(Ⅱ)按频率分布表中的成绩分组,采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动,求其中优秀生的人数;
(Ⅲ)在第(Ⅱ)问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人,求至少一人的成绩在[90,100]的概率.