题目内容

【题目】已知函数f(x)=x+ ﹣3lnx(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的一个极值点,求a值及f(x)的单调区间;
(2)当a=﹣2时,求f(x)在区间[1,e]上的最值.

【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),

由题有f′(x)=1﹣

所以由x=3是函数f(x)的一个极值点得f′(3)=1﹣ ﹣1=0,解得:a=0,

此时f′(x)=1﹣ =

所以,当x>3时,f′(x)>0;当0<x<3时,f′(x)<0,

即函数f(x)在(3,+∞)单调递增;在(0,3)单调递减.

所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3)


(2)解:因为a=﹣2,所以f(x)=x﹣ ﹣3lnx,

f′(x)=1+ =

所以,当0<x<1或x>2时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0,

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞);单调递减区间为(1,2),

又x∈[1,e],所以f(x)在[1,2]递减,在[2,e]递增,

所以f(x)的最小值f(x)min=f(2)=1﹣3ln2,

又f(1)=﹣1,f(e)=e﹣ ﹣3及f(e)﹣f(1)=e﹣ ﹣2<2.72﹣ ﹣2= <0,

所以f(x)的最大值为f(x)max=f(1)=﹣1


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值,计算f(e),f(1)的大小,求出f(x)的最大值即可.

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