Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ ，则不等式f（log2x）＞ 的解集为 ．

Answer 1

【答案】（0,2）
【解析】解：设g（x）=f（x）﹣ x，

∵f′（x）＜ ，

∴g′（x）=f′（x）﹣ ＜0，

∴g（x）为减函数，又f（1）=1，

∴f（log2x）＞ = log2x+ ，

即g（log2x）=f（log2x）﹣ log2x＞ =g（1）=f（1）﹣ =g（log22），

∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，

∴0＜x＜2，

则不等式f（log2x）＞ 的解集为（0，2）．

所以答案是：（0，2）

【考点精析】认真审题，首先需要了解对数函数的单调性与特殊点(过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数)．