题目内容
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．
（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
=(-2，0，t)，
=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B1C，
∴可得
•
=4+0-4t=0．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且
=(-2，0，1)．
又∵
=(-2，2，-4)，
=(2，2，0)，…（4分）
∴
•
=4+0-4=0
且
•
=-4+4+0=0…（6分）
∴
⊥
且
⊥
．
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
⊥平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，
又∵
=(0，2，-4)，
∴cos＜
，
＞=
=
，
因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为
…（12分）
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
| BE |
| B1C |
∵BE⊥B1C，
∴可得
| BE |
| B1C |
∴E（0，2，1），且
| BE |
又∵
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| BE |
且
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| DB |
| A1C |
| BE |
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
| A1C |
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
| A1C |
又∵
| A1B |
∴cos＜
| A1C |
| A1B |
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为
| ||
| 6 |
练习册系列答案
期末金牌卷系列答案
轻松课堂标准练系列答案
相关题目
