题目内容
如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2
，M为BC的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．
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（1）证明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．
（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
．
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，
由勾股定理可求得EM=
，AM=
，AE=3，
∴EM2+AM2=AE2．∴AM⊥EM．
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
（2）由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME=
=
=1，∴∠PME=45°．
∴二面角P-AM-D的大小为45°．
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
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∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，
由勾股定理可求得EM=
| 3 |
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∴EM2+AM2=AE2．∴AM⊥EM．
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
（2）由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME=
| PE |
| EM |
| ||
|
∴二面角P-AM-D的大小为45°．
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