题目内容
【题目】椭圆
，
是椭圆与
轴的两个交点，
为椭圆C的上顶点，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
．
（1）求椭圆
的离心率；
（2）设直线
与轴交于点
，交椭圆于
、
两点，且满足
，当
的面积最大时，求椭圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】分析：（1）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；
（2）由（1）知
，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：x=my﹣
，直线l与椭圆交于P，Q两点，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．
详解：（1）
，
，
，
，
， ．
（2）由（1）知，得
，
可设椭圆
的方程为：
设直线
的方程为：
，直线与椭圆交于
两点
得
因为直线与椭圆相交，所以
，
由韦达定理：
，
．
又
，所以
，代入上述两式有：
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立， 此时
，
代入
，有
成立，所以所求椭圆的方程为：．
【题目】某工厂的某车间共有
位工人，其中
的人爱好运动。经体检调查，这位工人的健康指数（百分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于
者为“身体状况好”，健康指数低于者为“身体状况一般”。
（1）根据以上资料完成下面的
列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”？
身体状况好 | 身体状况一般 | 总计 | |
爱好运动 | |||
不爱好运动 | |||
总计 |
|
（2）现将位工人的健康指数分为如下
组：
，
，
，
，
，其频率分布直方图如图所示。计算该车间中工人的健康指数的平均数，由茎叶图得到真实值记为
，由频率分布直方图得到估计值记为
，求与的误差值；
（3）以该车间的样本数据来估计该厂的总体数据，若从该厂健康指数不低于者中任选
人，设
表示爱好运动的人数，求的数学期望。
附：
。
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