题目内容
【题目】已知函数
=lnx+ax2+(2a+1)x．
（1）讨论
的单调性；
（2）当a﹤0时，证明
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先求函数导数
，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当
时， 
，则
在
单调递增；当
时， 
在
单调递增，在
单调递减.（2）证明
，即证
，而
，所以需证
，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得
，即得证.
试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+
），
.
若a≥0，则当x∈（0，+
）时， 
，故f（x）在（0，+
）单调递增.
若a＜0，则当x∈
时， 
；当x∈
时， 
.故f（x）在
单调递增，在
单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在
取得最大值，最大值为
.
所以
等价于
，即
.
设g（x）=lnx-x+1，则
.
当x∈（0,1）时， 
；当x∈（1，+
）时， 
.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+
）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时， 
，即
.
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