题目内容
【题目】如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1、C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
(1)设 ,求|BC|与|AD|的比值;
(2)若存在直线l,使得BO∥AN,求椭圆离心率e的取值范围.
【答案】
(1)
解:因为C1、C2的离心率相同,
故依题意可设 .
设直线l:x=t(|t|<a)分别和C1、C2的方程联立,
求得 .
当 时, ,分别用yA、yB表示A、B的纵坐标,
∴ .
|BC|与|AD|的比值
(2)
解:t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN,当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,
即: ,解得 .
因为|t|<a,又0<e<1,
所以 ,解得 .
∴当 时,存在直线l,使得BO∥AN,即离心率e的取值范围是 ,
∴椭圆离心率e的取值范围
【解析】(1)由题意设椭圆方程,联立即可求得A和B坐标,当 时, ,分别用yA、yB表示A、B的纵坐标, ;(2)分类,当t=0时的l不符合题意,当t≠0时,当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,根据斜率公式求得t,由 ,即可椭圆离心率e的取值范围.
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