Question

【题目】已知.

（1）若恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用等价转化，求解的最大值即可；

（2）把的解的情况等价转化为有两解，结合图象变化趋势可求.

（1）因为.

若x≤0时，f（x）≤0，g（x）＞0，f（x）≤g（x）恒成立；

若x＞0，f（x）≤g（x）恒成立等价为，

即，即有，

设， ，

令，

可得在x＞0递减，当x＞1时，，即，在x＞1递减；

当0＜x＜1时，，即，在0＜x＜1递增，

则在x＝1处取得极大值，且为最大值1，，

所以.

（2）若x≤0时，，无解；

当x＞0时，恒成立等价为，

即，即有有两解，

设，

由（1）可知在x＝1处取得极大值，且为最大值1，，

且，，当，

可得0＜a＜1时，关于x的方程有两个不同的解，

故a的范围是.