题目内容
【题目】已知两定点
，
，点
是平面内的动点，且
，记的轨迹是
.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
引直线
交曲线于
两点，点
关于
轴的对称点为
，证明直线
过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）设
，根据向量的坐标运算并结合
，代入化简即可求得
的轨迹是
.
（2）当斜率为0时，直线
即为
轴，此时定点一定在轴上.当斜率不为0时，设直线方程与
，
，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出
，进而表示出直线.令
，化简即可求得为定值，即可得所过定点的坐标.
设，则
，
，
，
，
所以
，即
.
故点到
，
这两点的距离之和为4，
，
由椭圆定义得曲线为椭圆且
，
，
所以曲线
.
（2）若直线斜率为0，则直线即为轴，此时定点一定在轴上.
若直线斜率不为0，则可设直线
，设，
由
得
所以
故直线为
，
令，
可得
所以直线恒过
.
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