题目内容
4.如图,在四棱锥F-ABCD中,侧面ABF⊥底面ABCD,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°.O、P分别为AB、CB的中点,M为△OBF的重心.(1)求证:PM∥平面AFC
(2)求证:平面ADF⊥平面CBF.
分析 (1)由三角形的重心的定义,结合中位线定理和面面平行的判定和性质,即可得证;
(2)过F在平面BCF中作l∥BC,证得l为平面ADF和平面CBF的交线,再由面面垂直的性质定理,可得BC⊥平面ABF,由线面垂直的性质和面面垂直的定义,即可得到.
解答 证明:(1)M为△OBF的重心,连接OM,延长交BF于H,
连接PH,OP,
由PH为△BFC的中位线,即有PH∥CF,
由OP为△ABC的中位线,即有OP∥AC,
即有平面ACF∥平面OHP,
PM?平面OHP,则PM∥平面AFC;
(2)过F在平面BCF中作l∥BC,由AD∥BC,
可得l∥AD,
则平面ADF和平面BCF的交线为l,
侧面ABF⊥底面ABCD,由BC⊥AB,
可得BC⊥平面ABF,即有BC⊥BF,
即有l⊥BF,
同理可得l⊥AF,
则∠AFB为平面ADF和平面CBF所成的角,
在△ABF中,BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}-2AB•AF•cos60°}$
=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$,
即有∠AFB=90°,
则平面ADF⊥平面CBF.
点评 本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定,考查空间线面的位置关系,考查运算和推理能力,属于中档题.
练习册系列答案
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注:①基本费为每户每月固定缴纳的网络使用费,基本费包含一定量的网络使用时间,用户每月网络使用费不超过基本费的,只收基本费,每月网络使用费超过基本费的,同时加收超过基本费的部分;②月上网费=月基本费+月网络使用费+月通信费.
(1)若某用户以“963”方式上网,上网多长时间,网络使用费达到100元;
(2)分别写出以“963”方式和“169”方式上网的月上网费y(元)与月上网时间t(h)之间的函数关系式;
(3)若某用户平均每月上网时间为120h,试问他用哪种方式上网合算.
项目方式 | 基本费 | 网络使用费 | 通信费 |
963 | 0 | 0.05元/min | 0.02元/min |
169 | 100元/月 | 1元/h |
(1)若某用户以“963”方式上网,上网多长时间,网络使用费达到100元;
(2)分别写出以“963”方式和“169”方式上网的月上网费y(元)与月上网时间t(h)之间的函数关系式;
(3)若某用户平均每月上网时间为120h,试问他用哪种方式上网合算.