题目内容

【题目】已知函数y=x3+3x2+a有且仅有两个零点x1和x2(x1<x2),则x2﹣x1的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4

【答案】C
【解析】解:y′=3x2+6x;
∴﹣2,0是原函数的两个极值点;
∴x<﹣2,和x>0时,原函数单调递增,﹣2≤x≤0时,单调递减;
且x1 , x2中必有一个是极值点;
①若0是原函数的零点,则:
∴0=0+0+a;
∴a=0;
∴y=x3+3x2
令y=0得,x=0,﹣3;
∵x1<x2
∴x1=﹣3,x2=0;
∴x2﹣x1=3.
②若﹣2是零点,则:
﹣8+12+a=0;
∴a=﹣4;
∴x3+3x2﹣4=(x3﹣1)+3(x2﹣1)
=(x﹣1)(x+2)2
=0;
∴x=1,﹣2;
∴x1=﹣2,x2=1;
∴x2﹣x1=3.
故选C.

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