Question

3．已知f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式：f（a²-1）+f（1-a）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可；
（2）利用函数的单调性、奇偶性，即可解不等式．

解答 解：（1）若x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∵当x∈（0，1）时，f（x）=2^x，
∴f（-x）=2^-x，
∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=2^-x=-f（x），
则f（x）=-2^-x，x＜0，
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，-1＜x＜0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$；
（2）∵f（a²-1）+f（1-a）＞0，
∴f（a²-1）＞f（a-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a-1＜0}\\{0＜{a}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$或1＞a²-1＞a-1＞0或0＞a²-1＞a-1＞-1，
∴1＜a＜$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．