Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知A=60°，a= ，sinB+sinC=6 sinBsinC，则△ABC的面积为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵A=60°，a= ， ∴由正弦定理可得： ，可得：sinB= ，sinC= ，
∵sinB+sinC=6 sinBsinC，可得： + =6 × × ，化简可得：b+c=3 bc，
∴两边平方可得：b2+c2+2bc=18b2c2 ， ①
又∵由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=b2+c2﹣bc，②
∴联立①②可得：6b2c2﹣bc﹣1=0，解得：bc= ，或﹣ （舍去），
∴△ABC的面积S= bcsinA= = ．
故答案为： ．
由已知及正弦定理可得sinB= ，sinC= ，化简已知等式可得b+c=3 bc，两边平方可得：b2+c2+2bc=18b2c2 ， 又由余弦定理可得3=b2+c2﹣bc，从而联立即可解得bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．