Question

10．给出下列四个命题：
①a＞β的充分不必要条件是sinα＞sinβ；
②若a，b∈R，ab＜0，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≤-2；
③已知点A（-1，0），B（1，0），若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；
④若a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²
其中所有真命题的序号是②．

Answer 1

分析 ①结合三角函数的性质进行判断即可；
②根据所给式子的特点，结合ab＜0，利用不等式求解；
③利用双曲线的定义直接判断，注意限制条件即“距离差的绝对值小于两定点间的距离”；
④作差，根据a≠b判断符号．

解答 解：对于①，取α=2π，β=0，由此可见，“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件，故①为假；
对于②，因为ab＜0，所以$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=-（-\frac{b}{a}-\frac{a}{b}）≤-2\sqrt{（-\frac{b}{a}）×（\frac{a}{b}）}=-2$，故②为真；
对于③，因为|PA|-|PB|=|AB|=2，所以P点的轨迹是以B为起点，方向为AB方向的射线，故③错误；
对于④，由已知可得a³+b³-a²b-ab²=（a-b）²（a+b）（*）．
因为a≠b，所以（a-b）²＞0，但a+b的符号不确定，因此（*）式的符号不确定，所以未必有原式成立．故④为假．
故答案为②

点评 命题真假的判断主要是以概念的考查为主，因此须结合相关的概念、定义等来处理，注意对条件的准确理解．