题目内容
16．已知an+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}$，a1=1，求{an}通项公式．分析 由已知的数列递推式结合不动点法可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得{an}通项公式．
解答 解：由an+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}$，得${a}_{n+1}+1=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}+4}+1=\frac{3（{a}_{n}+1）}{{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}=\frac{1}{{a}_{n}+1}+\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{3}$．
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{2n+1}{6}$，
则${a}_{n}=\frac{6}{2n+1}-1$．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．
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