为丰富市民的文化生活.市政府计划在一块半径为200m.圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图:内接梯形ABCD区域为运动休闲区.其中A.B分别在半径OP.OQ上.C.D在圆弧$\widehat{PQ}$上.CD∥AB,△OAB区域为文化展示区.AB长为$50\sqrt{3}$m,其余空地为绿化区域.且CD长不得超过200m．(1)试确定A.B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧$\widehat{PQ}$上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为$50\sqrt{3}$m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．

分析（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；
（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．

解答解：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，
在△OAB中，$A{B^2}=O{A^2}+O{B^2}-2OA•OB•cos\frac{2π}{3}$，
即${（50\sqrt{3}）^2}={m^2}+{n^2}+mn$，…2分
所以，${（50\sqrt{3}）^2}={（m+n）^2}-mn≥{（m+n）^2}-\frac{{{{（m+n）}^2}}}{4}=\frac{3}{4}{（m+n）^2}$，…4分
所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．
答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．6分
（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．
过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，
所以∠DOE=θ，由CD≤200，得$θ∈（0，\frac{π}{6}]$．8分
在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．
又在△AOE中，$OE=OAcos\frac{π}{3}=25$，故EF=200cosθ-25.10分
所以，$S=\frac{1}{2}（50\sqrt{3}+400sinθ）（200cosθ-25）$
=$625（\sqrt{3}+8sinθ）（8cosθ-1）$=$625（8\sqrt{3}cosθ-8sinθ+64sinθcosθ-\sqrt{3}）$，$θ∈（0，\frac{π}{6}]$．…12分
令$f（θ）=8\sqrt{3}cosθ-8sinθ+64sinθcosθ-\sqrt{3}$，$θ∈（0，\frac{π}{6}]$，$f'（θ）=-8\sqrt{3}sinθ-8cosθ+64cos2θ=-16sin（θ+\frac{π}{6}）+64cos2θ$，$θ∈（0，\frac{π}{6}]$，
又y=$-16sin（θ+\frac{π}{6}）$及y=cos2θ在$θ∈（0，\frac{π}{6}]$上均为单调递减函数，
故f'（θ）在$θ∈（0，\frac{π}{6}]$上为单调递减函数．
因$f'（\frac{π}{6}）=-16（\frac{{\sqrt{3}}}{2}-4×\frac{1}{2}）$＞0，故f'（θ）＞0在$θ∈（0，\frac{π}{6}]$上恒成立，
于是，f（θ）在$θ∈（0，\frac{π}{6}]$上为单调递增函数．…14分
所以当$θ=\frac{π}{6}$时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为$625（8+15\sqrt{3}）$．
答：当$θ=\frac{π}{6}$时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为$625（8+15\sqrt{3}）$m²．…16分．