Question

15．平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，D 是BC的中点，那么|$\overrightarrow{AD}$|=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 由已知，将所求用向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示，利用已知转化为求模以及数量积解答．

解答 解：由已知，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，D 是BC的中点，那么$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（2$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
又平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
所以（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+4-2×1×2×cos$\frac{π}{3}$=3，
所以|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了向量的加减运算和数量积的运算；属于基础题．