Question

【题目】已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；

（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程.

（2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.

（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明 ，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.

(1)设的坐标分别为,

因为点在双曲线上,所以,即,所以，

在中, ,,所以，

由双曲线的定义可知: ，

故双曲线的方程为: .

(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.

设双曲线上的点,

设的倾斜角为，则，又 ，所以，

故，

所以的夹角为，且.

点到两条渐近线的距离分别为，.

因为在双曲线上,所以 ，

所以.

(3)由题意,即证: ,设,

切线的方程为: .

时,切线的方程代入双曲线中,化简得:

(，

所以，.

又，

所以.

时,易知上述结论也成立.所以.

综上, ,所以.