Question

18．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10
（1）求数列{a_n}的通项公式；            
（2）设b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=0}\\{2{a_1}+12d=-10}\end{array}}\right.$，进而计算即得结论；
（2）通过a_n=2-n可知${b_n}=\frac{2-n}{{{2^{n-1}}}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=0}\\{2{a_1}+12d=-10}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=-1}\end{array}}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2-n；
（2）∵a_n=2-n，b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${b_n}=\frac{2-n}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${T_n}=1+0•\frac{1}{2}+（{-1}）•{（{\frac{1}{2}}）^2}+（{-2}）•{（{\frac{1}{2}}）^3}+…+（{3-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}+（{2-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+0•{（{\frac{1}{2}}）^2}+（{-1}）•{（{\frac{1}{2}}）^3}+（{-2}）•{（{\frac{1}{2}}）^4}+…+（{3-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+（{2-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
两式相减得：$\frac{T_n}{2}=1+\frac{-1}{2}+…+\frac{-1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2-n}{2^n}$
=$1-（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2-n}{2^n}=1-（{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2-n}{2^n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$（n＞1），
又∵T₁=b₁=$\frac{2-1}{{2}^{1-1}}$=1满足上式，
∴数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．