题目内容

7.函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.

分析 (1)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间,
(2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向,可知函数图象的变化情况,可知方程f(x)=a有3个不同实根,求得实数a的值.

解答 解:(1)f′(x)=3x2-6=3(x2-2),
令f′(x)<0,解得:-$\sqrt{2}$<x<$\sqrt{2}$,
令f′(x)>0,解得:x>$\sqrt{2}$或x<-$\sqrt{2}$,
∴函数f(x)的递减区间是$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$,递增区间是$(-∞,-\sqrt{2})$与$(\sqrt{2},+∞)$;
当$x=-\sqrt{2}$时,有极大值$5+4\sqrt{2}$,当$x=\sqrt{2}$时,有极小值$5-4\sqrt{2}$;
(2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向,
∴当5-4$\sqrt{2}$<a<5+4$\sqrt{2}$时,
直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点,
即方程f(x)=a有三解,
∴$5-4\sqrt{2}<a<5+4\sqrt{2}$.

点评 考查利用导数研究函数的单调性和图象,体现了数形结合的思想方法.本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题,需要对参数进行分类讨论.属中档题.

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