Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=2n+1．
（1）求出数列{a_n}的通项a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和G_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-2与S_n+1=2a_n+1-2作差、整理得a_n+1=2a_n，进而可知数列{a_n}的通项a_n=2ⁿ；利用等差数列的求和公式计算可得T_n=n（n+2）；
（2）通过（1）、裂项可知$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），
∴S_n+1=2a_n+1-2，
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
整理得：a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
∵b_n=2n+1，
∴T_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）；
（2）由（1）得$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴G_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．