Question

【题目】已知函数f（x）= ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0 ， y0），使得：①x0= ；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

由已知得，f′（x）= ，

（i）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞1； 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．

所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；

（ii）当a＜0时，

①当﹣ ＜1时，即a＜﹣1时，令f′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜1；

∴函数f（x）在（﹣ ，1）上单调递增；

②当﹣ =1时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无增区间；

③当﹣ ＞1时，即﹣1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣

∴函数f（x）在（1，﹣ ）上单调递增；

综上所述，（i）当a＞0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；

（ii）当a＜﹣1时，函数f（x）在（﹣ ，1）上单调递增；

（iii）当a=﹣1时，函数f（x）无单调递增区间；

（iv）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（1，﹣ ）上单调递增；

（2）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．

设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，

则y1= ﹣x1﹣lnx1，y2= ﹣x2﹣lnx2．

kAB= =x2+x1﹣1﹣ ，

曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率：

k=f′（x0）=f′（ ）=x1+x2﹣1﹣ ，

x2+x1﹣1﹣ =x1+x2﹣1﹣ ，

∴ = ，即ln ﹣ =0，

令t= ＞1

设h（t）=lnt﹣ ，则h′（t）= ＞0，

∴h（t）在（0，+∞）递增，

∴h（t）＞h（1）=0，

故h（t）=0在（0，+∞）无解，假设不成立，

综上所述，假设不成立，

所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”

【解析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．