题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3﹣2x2﹣4x.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[﹣1,4]上的最大值和最小值.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=x3﹣2x2﹣4x,
∴f′(x)=3x2﹣4x﹣4,
由f′(x)>0,得x<﹣ 或x>2,
由f′(x)<0,得﹣ <x<2,
∴函数y=f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣ ),[2,+∞);单调减区间是[﹣
,2].
(2)解:由f′(x)=3x2﹣4x﹣4=0,
得 ,x2=2,
列表,得:
x | ﹣1 | (﹣1,﹣ | ﹣ | (﹣ | 2 | (2,4) | 4 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | ↑ | ↓ | ﹣8 | ↑ | 16 |
∴f(x)在[﹣1,4]上的最大值为f(x)max=f(4)=16,最小值为f(x)min=f(2)=﹣8.
【解析】(1)求出f′(x)=3x2﹣4x﹣4,利用导数性质能求出函数y=f(x)的单调增区间和单调减区间.(2)由f′(x)=3x2﹣4x﹣4=0,得 ,x2=2,列表讨论能求出f(x)在[﹣1,4]上的最大值和最小值.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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