题目内容
【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点,离心率为,分别是椭圆的上、下顶点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线与交于两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)根据离心率为,,列出关于 、 、的方程组,结合性质 ,求出 、 、,即可得椭圆的方程;(2)直线斜率存在,设其方程为.,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形面积用 表示,利用基本不等式 即可得结果.
试题解析:(1)由题知,,,,
∴,∴,①
∵,∴,∴,②
①②联立解得,,∴椭圆的方程为.
(2)设,,显然直线斜率存在,设其方程为,
代入,整理得,
则,即,,,
,
所以到的距离,
所以三角形面积 ,
设,所以,
当且仅当,即,即,即时取等号,
所以面积的最大值为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
练习册系列答案
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2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
2.1 | 3.4 | 5.9 | 6.6 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断使用年限与所支出的维修费用是否线性相关;如果线性相关,求回归直线方程;
(2)若使用超过8年,维修费用超过1.5万元时,车主将处理掉该车,估计第10年年底时,车主是否会处理掉该车?
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