题目内容

设数列的前项和为,已知为常数),,(1)求数列的通项公式;(2)求所有满足等式成立的正整数.
(1));(2).

试题分析:(1)由取n=1,及 ,可求得,再由构造两个关系相减求得关系,进而知道为等比数列,从而可求得通项公式;(2)由(1),得,代入,同时注意变形技巧,易得n与m的关系,注意到为正整数,以m为分类标准进行讨论,进而求得n与m的值.
试题解析:(1)由题意,得,求得.所以,   ①
时,      ②
①-②,得),又,所以数列是首项为,公比为的等比数列,
的通项公式为).
(2)由(1),得,由,两边倒数,且有,因此得,化简得,即,即.(*)因为,所以,所以,因为,所以.
时,由(*)得,所以无正整数解;
时,由(*)得,所以无正整数解;
时,由(*)得,所以.综上可知,存在符合条件的正整数.的关系:;2,等比数列通项公式,前n项和公式;3,分类讨论思想.
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