题目内容
【题目】已知函数f(x)= +acosx,g(x)是f(x)的导函数.
(1)若f(x)在 处的切线方程为y= ,求a的值;
(2)若a≥0且f(x)在x=0时取得最小值,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,当x>0时, .
【答案】
(1)解:f′(x)=x﹣asinx,
f′( )= ﹣a= ,
∴a=﹣1,经验证a=﹣1合题意
(2)解:g(x)=f′(x)=x﹣asinx g′(x)=1﹣acosx
①当a=0时,f(x)= x2,显然在x=0时取得最小值,
∴a=0合题意;
②当a>0时,
(i)当 ≥1即0<a≤1时,g′(x)≥0恒成立,
∴g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,又g(0)=0
∴当x<0时,g(x)<0 即f′(x)<0,当x>0时,g(x)>0 即f′(x)>0
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
∴f(x) 在x=0时取得最小值
∴当0<a≤1时合题意;
(ii)当0< <1即a>1时,在(0,π)内存在唯一x0=arccos 使g′(x)=0
当x∈(0,x0)时,
∵y=cosx在(0,π)上是单调递减的,
∴cosx>cosx0=
∴g′(x)=a ( ﹣cosx)<0,
∴g(x) 在(0,x0)上单调递减,
∴g(x)<g(0)=0
即f′(x)<0,
∴f(x)在(0,x0)内单调递减;
∴x∈(0,x0)时,f(x)<0 这与f(x)在x=0时取得最小值即f(x)≥f(0)矛盾,
∴当a>1时不合题意;
综上,a的取值范围是0,1]
(3)解:由(1)知,a=﹣1 此时g(x)=x+sinx,g′(x)=1+cosx,
∴ = =|cos |≥cos ,
∴若要证原不等式成立,只需证cos + x2> 成立;
由(2)知,当a=1时,f(x)≥f(0)恒成立,即 x2+cosx≥1恒成立
即cosx≥1﹣ x2(当且仅当x=0时取“=“号),
∴cos ≥1﹣ x2(当且仅当x=0时取“=“号) …①
∴只需证:1﹣ x2+ x2> 成立,即1+ x2> ,
又由均值不等式知:1+ x2≥x(当且仅当x=2时取“=“号) …②
∵①②两个不等式取“=“的条件不一致,
∴只需证:x≥ ,
两边取对数得:lnx≥1﹣ …③
下面证③式成立:令(x)=lnx﹣1+ ,
则′(x)= ﹣ = ,
∴(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴(x)≥(1)=0,
即lnx﹣1+ ≥0,
∴lnx≥1﹣ ,
即③式成立,
∴原不等式成立.
【解析】(1)先求导,根据导数和几何意义即可求出,(2)先求导,再分类讨论,根据导数和函数的最值得关系即可求出参数的取值范围,(3)原不等式转化为cos + x2> 成立,分别根据均值不等式和导数和函数的最值得关系即可证明.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用基本求导法则和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.