Question

【题目】如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1 ．
（1）证明：BB1⊥平面ABCD；
（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为 ，cos∠BAD= ，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，

由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1平面A1B1BA，

得DP⊥BB1，

由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，

得DQ⊥BB1，

又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD

（2）解：由AB=AD= ，且cos∠BAD= ，

在△ABD中利用余弦定理得BD=2，

设AC与BD的交点为O， 与B1D1的交点为O1，

以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

则B（0，1，0），M（1， ， ），N（﹣1， ， ），

C（﹣2，0，0），A1（2，0， ），A（2，0，0），

B1（0，1， ），D1（0，﹣1， ），

设平面BMN的法向量为 =（a，b，c），

=（1，﹣ ， ）， =（﹣2，0，0），

则 ，取b=10，得 =（0，10， ），

设平面AB1D1的法向量为 =（x，y，z），

=（﹣2，1， ）， =（0，﹣2，0），

则 ，取x=5，得 =（5，0，2 ），

∴cosθ= = ．

【解析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1 ， DQ⊥BB1 ， 由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O， 与B1D1的交点为O1 ， 以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．