Question

13．设|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，∠BAC=60°，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AD}$+（1-x）$\overrightarrow{AB}$，x∈[0，1]，则$\overrightarrow{AE}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [1，7]
• C． [7，9]
• D． [9，21]

Answer 1

分析 如图所示，取A（0，0），$\overrightarrow{AC}$=（3，0），$\overrightarrow{AB}$=$（1，\sqrt{3}）$．$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}+2（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$（7，-2\sqrt{3}）$．由$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AD}$+（1-x）$\overrightarrow{AB}$，x∈[0，1]，可知点E在线段BD上．利用$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影是$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影是$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
取A（0，0），$\overrightarrow{AC}$=（3，0），$\overrightarrow{AB}$=$（1，\sqrt{3}）$．
∵$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}+2（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$=$（7，-2\sqrt{3}）$．
∵$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AD}$+（1-x）$\overrightarrow{AB}$，x∈[0，1]，
∴点E在线段BD上．
$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影是$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=1，
$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影是$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=7．
∴$\overrightarrow{AE}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影的取值范围是[1，7]．
故选：B．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的投影、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．