题目内容

5.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列运算a1•a2=log23•log34=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2,a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•log78=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg7}{lg6}$•$\frac{lg8}{lg7}$=3.定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k(k∈N*)叫做企盼数.则区间[1,2016]内的所有企盼数的和为 (  )
A.2026B.2057C.2073D.2074

分析 利用对数的运算性质可知a1•a2•a3•…•ak=$\frac{lg(k+2)}{lg2}$,进而计算可得结论.

解答 解:∵an=logn+1(n+2)(n∈N*),
∴a1•a2•a3•…•ak=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg(k+1)}{lgk}$•$\frac{lg(k+2)}{lg(k+1)}$=$\frac{lg(k+2)}{lg2}$,
∴k+2=2t(t≥2,t∈N*),
于是区间[1,2016]内的所有企盼数的和为(22-2)+(23-2)+…+(210-2)=$\frac{{2}^{2}(1-{2}^{9})}{1-2}$-2×9=2026,
故选:A.

点评 本题考查数列的通项,考查运算求解能力,利用对数的性质是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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