题目内容
【题目】已知函数f(x)= .
(1)求f(x)的极大值;
(2)求f(x)在区间(﹣∞,0]上的最小值;
(3)若x2+5x+5﹣aex≥0,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:
当x<﹣3时,f′(x)<0
当﹣3<x<0时,f′(x)>0
当x>0时,f′(x)<0
所以函数f(x)在(﹣∞,﹣3)上为单调递减函数
在(﹣3,0)上为单调递增函数
在(0,+∞)上为单调递减函数
因此函数f(x)在x=0处有极大值f(0)=5
(2)解:由(1)得函数f(x)在(﹣∞,﹣3)上为单调递减函数,
在(﹣3,0)上为单调递增函数
所以函数f(x)在x=﹣3处有最小值f(﹣3)=﹣e3
(3)解:
由(2)得函数f(x)在区间(﹣∞,0]上有最小值﹣e3
当x>0时,f(x)>0
所以函数f(x)在定义域中的最小值为﹣e3,所以a≤﹣e3
即a的取值范围为(﹣∞,﹣e3]
【解析】(1)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极大值即可;(2)根据函数的单调性,求出函数在闭区间的最小值即可;(3)问题转化为 ,根据函数的单调性得到函数f(x)在区间(﹣∞,0]上有最小值﹣e3 , 从而求出a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
练习册系列答案
相关题目