Question

【题目】在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．

∴2cos2A+3cosA﹣2=0，

∴解得：cosA= ，或﹣2（舍去），

又∵0＜A＜π，

∴A=

（2）解：∵a=2RsinA= ，

又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，

∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，

∴S△ABC= bcsinA= bc≤ ，

∴三角形面积的最大值为

【解析】（1）由已知利用二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可得2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．（2）由已知及正弦定理可求a=2RsinA= ，又利用余弦定理，基本不等式可得bc≤3，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．
【考点精析】通过灵活运用余弦定理的定义，掌握余弦定理:;;即可以解答此题．