题目内容
【题目】记
(I)若对任意的x0恒成立,求实数a的值;
(II)若直线l:与
的图像相切于点Q(m,n) ;
(i)试用m表示a与k;
(ii)若对给定的k,总存在三个不同的实数a1,a2,a3,使得直线l与曲线,
,
同时相切,求实数k的取值范围。
【答案】(I)(II)(i)
.
(ii)见解析
【解析】
(I)利用说明
是
的最大值,也是极大值,求得a,再证明必要性;
(II)(i)利用导数的几何意义及切点既在曲线上又在直线上,列出方程组,解得a,k.
(ii)根据题意求得方程:有三个不同的解时的k的范围,再去证明
与a是一一对应的.
(I)∵
∵,又∵
恒成立,∴
是
的最大值
∴,∴
;
反过来,当时,
单调递减,又
,∴
在(0,1)上递增,在(1,
上递减,
,∴
恒成立.
∴
(II)(i)∵,由切点
,则有:
,
把①代入②可得:,
代入①式得:(**),
(ii)根据题意方程(**)有三个不同的解,
令
∴
=
=
由,解得两根分别为
与
∴当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减
∴的极小值为
;
的极大值为
又∵时,
∴当时,方程(**)有三个不同的根,
下面说明三个不同的对应的
也是不同的:
设方程(**)的三个不同的根分别为:,且
则有:,
,
,显然
只需说明即可,
又由可得:
即,假设
,
则有,即
即
即,令
,即
设
∴
∴在
上是减函数,即
,与
矛盾
∴假设不真,即
∴当,存在三个不同的实数
使得直线
与曲线
,
,
同时相切.

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