题目内容
【题目】已知三点O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| +
|=
(
+
)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0 , y0)(﹣2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为直线l:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:由 =(﹣2﹣x,1﹣y),
=(2﹣x,1﹣y)可得
+
=(﹣2x,2﹣2y),
∴| +
|=
,
(
+
)+2=(x,y)(0,2)+2=2y+2.
由题意可得 =2y+2,化简可得 x2=4y.
(2)解:假设存在点P(0,t)(t<0),满足条件,则直线PA的方程是y= ,直线PB的方程是y=
∵﹣2<x0<2,∴
①当﹣1<t<0时, ,存在x0∈(﹣2,2),使得
∴l∥PA,∴当﹣1<t<0时,不符合题意;
②当t≤﹣1时, ,
,
∴l与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组
,
,解得D,E的横坐标分别是
,
∴
∵|FP|=﹣
∴ =
∵
∴ ×
∵x0∈(﹣2,2),△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴ ,解得t=﹣1,
∴△QAB与△PDE的面积之比是2.
【解析】(1)用坐标表示 ,
,从而可得
+
,可求|
+
|,利用向量的数量积,结合M(x,y)满足|
+
|=
(
+
)+2,可得曲线C的方程;(2)假设存在点P(0,t)(t<0),满足条件,则直线PA的方程是y=
,直线PB的方程是y=
分类讨论:①当﹣1<t<0时,l∥PA,不符合题意;②当t≤﹣1时,
,
,分别联立方程组,解得D,E的横坐标,进而可得△QAB与△PDE的面积之比,利用其为常数,即可求得结论.
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