题目内容
【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3,CD=
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．
【答案】解：①取PC中点G，连接EG，FG；又由F为PD中点
∴FG
CD
又∵AECD
∴FGAE，即可得四边形AEFG是平行四边形
∴AF∥EG
又AF平面PCE，EG平面PCE
∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AF在面PAD内
∴CD⊥AF
∵PA=AD，F为PD中点
∴AF⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF
∴EG⊥平面PCD
又∵EG平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，
，
∴sin
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为
【解析】①根据有中点找中点做出辅助线，得到三组线线平行，得到四边形是一个平行四边形，得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论．
②要证明面面垂直，根据证明面面垂直的判断需要找一条和两个平面垂直的一条直线，根据线面垂直的判断和性质，得到结论．
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用向量语言表述面面的垂直、平行关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，要证∥，只需证∥，即证
;要证
，只需证
，即证
．
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【题目】(2017·全国卷Ⅲ文，18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
