题目内容
【题目】已知抛物线,
是焦点,直线
是经过点
的任意直线.
(Ⅰ)若直线与抛物线交于
、
两点,且
(
是坐标原点,
是垂足),求动点
的轨迹方程;
(Ⅱ)若、
两点在抛物线
上,且满足
,求证:直线
必过定点,并求出定点的坐标.
【答案】所求动点M的轨迹方程是 (
).
直线CD的方程可化为. 直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0).
【解析】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
解 (1) 设动点M的坐标为. …………………1分
∵抛物线的焦点是
,直线l恒过点F,且与抛物线交于两点A、B,
又,
∴. …………………3分
∴,化简,得
. …………………5分
又当M与原点重合时,直线l与x轴重合,故.
∴所求动点M的轨迹方程是 (
).
(2) 设点C、D的坐标为、
. …………………………6分
∵C、D在抛物线上,
∴,
,即
,
.
又,
∴. ………8分
∵点C、D的坐标为、
,
∴直线CD的一个法向量是,可得直线CD的方程为:
,化简,得
,进一步用
,有
.
又抛物线上任两点的纵坐标都不相等,即
.
∴直线CD的方程可化为. ………………………10分
∴直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0). ………………………12分
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