题目内容

【题目】已知函数相邻两对称轴间的距离为,若将的图像先向左平移个单位,再向下平移1个单位,所得的函数为奇函数.

(1)求的解析式,并求的对称中心;

(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.

【答案】(1,对称中心为:,(2.

【解析】试题分析:(1)相邻两对称轴间的距离为半周期,,可得,按三角函数的平移变换,表达式,函数为奇函数,,且过点得,求出表达式后由性质可得对称中心;(2)由的范围,利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.

试题解析:

1)由条件得:,即,

为奇函数,令

,得对称中心为:

2,又有(1)知:,则的函数值从0递增到1,又从1递减回0.由原命题得:上仅有一个实根.

则需

解得:.

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