题目内容
【题目】已知函数相邻两对称轴间的距离为,若将的图像先向左平移个单位,再向下平移1个单位,所得的函数为奇函数.
(1)求的解析式,并求的对称中心;
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
【答案】(1),对称中心为:,(2)或.
【解析】试题分析:(1)相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得,按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心;(2)由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.
试题解析:
(1)由条件得:,即,则,
又为奇函数,令,,,,
由,得对称中心为:
(2),又有(1)知:,则, 的函数值从0递增到1,又从1递减回0.令则由原命题得:在上仅有一个实根.
令,
则需或,
解得:或.