题目内容
(本小题满分14分)
已知双曲线
:
和圆
:
(其中原点
为圆心),过双曲线
上一点
引圆
的两条切线,切点分别为
、
.
(1)若双曲线
上存在点
,使得
,求双曲线离心率
的取值范围;
(2)求直线
的方程;
(3)求三角形
面积的最大值.
已知双曲线










(1)若双曲线




(2)求直线

(3)求三角形

(本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等.)
解:(1)因为
,所以
,所以
.…………………1分
由
及圆的性质,可知四边形
是正方形,所以
.
因为
,所以
,所以
.……………3分
故双曲线离心率
的取值范围为
.…………………………………………………………4分
(2)方法1:因为
,
所以以点
为圆心,
为半径的圆
的方程为
.………5分
因为圆
与圆
两圆的公共弦所在的直线即为直线
,……………………………………………6分
所以联立方程组
………………………………………………7分
消去
,
,即得直线
的方程为
.………………………………………………8分
方法2:设
,已知点
,
则
,
.
因为
,所以
,即
.…………………………………………5分
整理得
.
因为
,所以
.……………………………………………………………6分
因为
,
,根据平面几何知识可知,
.
因为
,所以
.………………………………………………………………………7分
所以直线
方程为
.
即
.
所以直线
的方程为
.………………………………………………………………8分
方法3:设
,已知点
,
则
,
.
因为
,所以
,即
.…………………………………………5分
整理得
.
因为
,所以
.……6分
这说明点
在直线
上.…………7分
同理点
也在直线
上.
所以
就是直线
的方程.……8分
(3)由(2)知,直线
的方程为
,
所以点
到直线
的距离为
.
因为
,
所以三角形
的面积
.……………………………………10分
以下给出求三角形
的面积
的三种方法:
方法1:因为点
在双曲线
上,
所以
,即
.
设
,
所以
.………………………………………………………………………………………11分
因为
,
所以当
时,
,当
时,
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减.……………………………………12分
当
,即
时,
,…………………………………13分
当
,即
时,
.
综上可知,当
时,
;当
时,
.………14分
方法2:设
,则
.…………………………………………11分
因为点
在双曲线
上,即
,即
.
所以
.
令
,则
.
所以当
时,
,当
时,
.
所以
在
上单调递减,在
上单调递增.…………………………………12分
当
,即
时,
,……………………………………13分
当
,即
时,
.
综上可知,当
时,
;当
时,
.………14分
方法3:设
,则
.…………………………………11分
因为点
在双曲线
上,即
,即
.
所以
.
令
,
所以
在
上单调递增,在
上单调递减.………………………………12分
因为
,所以
,
当
,即
时,
,此时
.
………………………………13分
当
,即
时,
,此时
.
综上可知,当
时,
;当
时,
.………14分
解:(1)因为




由



因为




故双曲线离心率


(2)方法1:因为

所以以点




因为圆



所以联立方程组

消去




方法2:设



则




因为



整理得

因为


因为



因为


所以直线


即

所以直线


方法3:设


则




因为



整理得

因为



这说明点


同理点


所以


(3)由(2)知,直线


所以点



因为

所以三角形


以下给出求三角形


方法1:因为点


所以



设

所以

因为

所以当




所以



当



当



综上可知,当




方法2:设


因为点





所以

令


所以当




所以



当



当



综上可知,当




方法3:设


因为点





所以

令

所以



因为


当




………………………………13分
当




综上可知,当




略

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