题目内容
7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{x}，x＞1}\\{{x}^{2}+1，-1≤x≤1}\\{2x+3，x＜-1}\end{array}\right.$，求：（1）f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$），f{f[f（-2）]}的值．
（2）求f（3x-1）；
（3）若f（a）=$\frac{3}{2}$，求a．
分析 （1）根据函数的解析式依次求出f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）、f（-2）、…、f{f[f（-2）]}的值；
（2）根据解析式对3x-1分三种情况并依次求出，最后再用分段函数的形式表示出f（3x-1）；
（3）根据解析式对a分三种情况，分别由条件列出方程求出a的值．
解答 解：（1）由题意得，f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）=f（1-$\frac{\sqrt{2}+1}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}$）
=f（$-\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$+3，
又f（-2）=-4+3=1，则f（1）=1+1=2，f（2）=1$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以f{f[f（-2）]}=$\frac{3}{2}$；
（2）当3x-1＞1即x＞$\frac{2}{3}$时，f（3x-1）=$1+\frac{1}{3x-1}$，
当-1≤3x-1≤1即0≤x≤$\frac{2}{3}$时，f（3x-1）=（3x-1）2+1=9x2-6x+2，
当3x-1＜-1即x＜0时，f（3x-1）=2（3x-1）+1=6x-1，
综上可得，f（3x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{3x-1}，x＞\frac{2}{3}}\\{9{x}^{2}-6x+2，0≤x≤\frac{2}{3}}\\{6x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（3）因为f（a）=$\frac{3}{2}$，所以分以下三种情况：
当a＞1时，f（a）=$1+\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2，成立，
当-1≤a≤1时，f（a）=a2+1=$\frac{3}{2}$，解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，成立
当a＜-1时，f（a）=2a+1=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{4}$，不成立，
综上可得，a的值是2或$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外求，考查分类讨论思想，属于中档题．
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | π | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | 2π |